viernes, 19 de marzo de 2021

CÁLCULO FILTRO PWM

He aquí una recopilación con detalles teóricos sobre el cálculo del filtro PWM. Este tema -como algunos otros- suele mal interpretarse y generar más dudas que respuestas, sobre todo por lo que se suele escuchar de algunos aficionados "verborrágicos". Muchos comentarios son acertados, pero otros no tanto, y consecuentemente mientras más complicado se lo presente, menos LU's y radioescuchas estarán al alcance de entender y diseñar sus filtros para algunos de sus equipos.
Hace poco tiempo, le recomendé a Marcelo LU6DCS la utilización del software SVC Filter para un cálculo rápido y efectivo de los filtros. En su página está muy claro el proceso para llevar a cabo la operación. (Cálculo-Filtro)

Pretendo aquí aclarar cuestiones más puntuales, como ser, qué tipo de filtro y qué frecuencia switching utilizar, con qué frecuencia de corte diseñar el filtro, resistencia característica del filtro, distorsión de fase etc.

Como introducción, me veo obligado a desmitificar y decir sin prolegómenos que "ES NADA MÁS Y NADA MENOS QUE UN FILTRO PASABAJOS". He oído decir que: "la primer etapa es un integrador y la segunda es el filtro pasabajos. Y que el diseño de la primer mitad se calcula tal como se calcula un filtro de salida de una fuente conmutada"

Vamos por parte. Un circuito Integrador, es tal como lo indica la palabra, un integrador matemático. Un circuito integrador es usado por ejemplo, para integrar una señal cuadrada proveniente de un clock para obtener una onda triangular y aplicarla a un comparador para modular en PWM (El LM555 es clock e integra su señal para entregar una triangular al LM311). Matemáticamente, la integral de una contínua es una función lineal (segmentos del triángulo).
El circuito y ecuación de un integrador es la siguiente: 

Fig 1


Si se aplica a este circuito señales alternadas, como la ganancia de un simple inversor es Av = R2/R1, y en este caso R2 es reemplazada ahora por un capacitor, Av = XC2/R1, y como la reactancia capacitiva disminuye a incrementos de frecuencia, la ganancia de tensión del integrador disminuirá. Como consecuencia, un integrador es ni más ni menos que un filtro pasabajos. [1]

Por otro lado, un filtro de salida de una fuente conmutada se calcula teniendo en cuenta algo muy importante, y es que se debe evitar en todo momento que la corriente que circula por el inductor entre en "Modo Discontinuo". La forma de onda de la corriente que circula por este inductor es tipo triangular (integra la forma cuadrada de voltaje proveniente de los switches conmutadores). Esa señal de corriente siempre se debe mantener en valores positivos y nunca debe hacerse cero, porque se generarían oscilaciones en el voltaje de salida que el lazo de control puede no llegar a corregir. Es por eso que las fuentes switching tienen una resistencia de carga interna a su salida que le asegura una corriente mínima en todo momento (esto al menos en las topologías Sensado de Voltaje). Pero, a diferencia de un modulador, una fuente en general debe estar preparada para trabajar con diferentes cargas, en cambio, los moduladores de AM trabajan a carga constante, que es el consumo que nos genera la etapa de RF. Incluso al modular, la carga que ve el filtro del modulador es constante e igual en todo momento.
Como resumen, los filtros de fuentes conmutadas tienen un cálculo diferente al que se utiliza en un filtro modulador, y en éstos no se entra en Modo Discontinuo nunca en operación.


ESPECTRO:

Veamos las características temporal y espectral de una onda cuadrada:

Fig 2

  

Esta forma de onda es la que tenemos a la salida del dispositivo modulador (antes del filtro), cuando no hay audio presente a la entrada.

La señal se compone de armónicos impares exclusivamente y, si la onda está desplazada del cero (es decir que nunca se hace negativa), la misma tiene una componente de continua (frecuencia 0).

Si colocamos un filtro a la salida de esta señal, con una frecuencia de corte
 
comprendida entre 0 y w0 (Ver Fig2), filtraremos todos sus armónicos y nos quedaremos con el valor de continua, es decir con un voltaje fijo a su salida. Esto es lo que tenemos a la salida del modulador cuando no colocamos audio a la entrada, tenemos una tensión fija que es la que alimenta la etapa amplificadora de RF. Como generalmente ajustamos el ciclo de trabajo al 50% en ausencia de audio, el voltaje a la salida del filtro será la mitad del voltaje de nuestra fuente de alimentación.

Veamos ahora qué pasa cuando a esta onda cuadrada le insertamos información (la modulamos en ancho). Lo que resulta es que cada armónico impar se modulará con la información modulante (aunque  contendrá esta información algo modificada (a la fundamental de la señal PWM, por ejemplo si es 100khz, la modulación estará "octavada", es decir que si silbamos 1khz, escucharemos 2khz a los +-100khz de nuestra frecuencia de portadora. El tercer armónico (300khz) contendrá la modulación octavada y doblemente octavada. Así podemos seguir con los siguiente armónicos impares [2]. A su vez, aparece información de DBL (doble banda lateral) en las frecuencias de armónicos pares, ver siguiente figura: 

Fig 3

 Está claro que todos los componentes de frecuencia presentes más allá de la banda pasante de interés (audio) se deben eliminar. Solo para recordar: lo bueno de este método es que el dispositivo amplificador o modulador, amplifica con alta eficiencia al trabajar al corte y a la saturación. Lo negativo es que debemos insertar un filtro para recuperar el audio.


FRECUENCIA DE CORTE:

La siguiente pregunta obligada es con qué frecuencia de corte se debe diseñar el filtro. Muchos podrían suponer que, si queremos que nuestro transmisor emita con un ancho de canal de 12kHz (6kHz para cada lado), la frecuencia de corte del filtro debería ser de 6khz. En realidad podría ser, sin embargo no es necesaria.

El punto fundamental es que se debe permitir el paso de las frecuencias de audio, y eliminar o restringir el paso de TODO lo que esté más allá de dichas frecuencias, comenzando con la fundamental de la frecuencia de conmutación (100khz por ejemplo) con sus componentes de modulación y toda la información de mayor frecuencia.

El filtro debe asegurar una atenuación de la componente fundamental de conmutación de aproximadamente 60dB  para que, sobre todo en transmisores de potencia, no llegue con suficiente amplitud al amplificador de RF y sea modulada al aire (por supuesto la etapa de RF y la antena harán también su parte en lo que respecta a filtrado si estos son sintonizados o diseñados con un ancho de banda acotado). Si no se asegura un buen filtrado de la componente de conmutación, y transmitimos en 7200khz, tendremos en 7100khz y 7300khz vestigios de nuestra modulación, aunque un tanto trastocada u octavada como se comentó más arriba.

Una manera fácil de conocer el valor de atenuación a la frecuencia de conmutación, es visualizando en software el comportamiento del filtro a dicha frecuencia. Por ejemplo, para un filtro Butterworth y una carga de 12ohms (Fig.4), vemos que si lo calculamos con una frecuencia de corte de 20khz, su atenuación a la frecuencia de conmutación es 60dB. Una frecuencia de corte mayor ya no asegura tal atenuación (al menos para un filtro orden 4, o sea dos pares L-C), pero podemos tomarnos la licencia para equipos QRP. 
 

Fig 4

Y vemos un caso del mismo filtro pero con una frecuencia de 30kHz

Fig 5


También tenemos como opción, agregar más etapas (incrementar el orden el filtro). Este último ejemplo (Fig.5) diseñado con un corte de 30khz con una etapa más, atenuaría seguramente lo suficiente a la frecuencia de conmutación. Se gana en inductores y capacitores de menor valor, pero se pierde en cantidad de componentes y espacio.

Por otro lado, algunos podrían pensar que utilizar una frecuencia de corte mucho menor, no sólo nos re-aseguraría una buena atenuación a la frecuencia PWM, sino que también nos serviría para acotar, restringir o definir nuestro canal de transmisión, o dicho de otra forma, nos ayudaría a mantener nuestro espectro transmisible bien definido (que las bandas laterales no superen en absoluto más allá de por ejemplo +- 6khz de ancho). Si bien esto es cierto, por un lado debería utilizarse un filtro de corte abrupto, caso contrario se genera una zona difusa en la zona de transición. Obviamente es una mejora.
Por otro lado, la mayoría de las emisiones con "splatters" están asociadas a sobremodulaciones, a una falla en la sintonía y correcta excitación en RF, o a la falta de linealidad del modulador y amplificador de RF, esta última es la más difícil de solucionar. 

Como resumen: la frecuencia de corte de diseño del filtro se establece según la atenuación necesaria de la fundamental de conmutación (portadora PWM); y el ancho de banda de nuestro canal se lo ajusta desde la cadena de audio. Así al menos se hace en broadcastings profesionales.

 
FRECUENCIA DE CONMUTACIÓN:

La elección de la frecuencia de la portadora PWM también está relacionada directamente con su atenuación necesaria a la salida del filtro. En lugar de "jugar" con la frecuencia de corte o con el número de etapas para que a la portadora PWM se atenúe 50 - 60dB, podemos en cambio incrementar la frecuencia PWM para que se aleje de la banda de audio, de modo que el filtro atenúe aún más los armónicos indeseables. La frecuencia de 100kHz probablemente provenga de alguna ingeniería inversa (por no llamarle copia 😂) de algún equipo comercial y quedó establecida como "palabra santa". 
Hace dos o tres décadas atrás, lo que impedía utilizar frecuencias de conmutación elevadas, era la limitación de velocidad de los dispositivos semiconductores (una elegante y muy ingeniosa solución fue el sistema de modulación polifásico). Pensar en frecuencias elevadas en aquel entonces antes de llegar incluso al límite máximo de operatividad de un transistor, era pensar en pérdidas por cruce, provocando calentamiento y una consecuente baja eficiencia de los amplificadores/moduladores.
Hoy por hoy, ya no existen limitaciones y verdaderamente es muy ventajoso utilizar frecuencias más elevadas: Reduce considerablemente el tamaño del filtro.
Cito como ejemplo mi transmisor de 400W en el cual utilizo una frecuencia PWM de 160kHz con dos IRFB4227 como dispositivos moduladores. Y en mi último proyecto, un modulador de potencia con una frecuencia de 350kHz y no estática (más adelante lo publicaré en el blog).


RESISTENCIA CATACTERÍSTICA DEL FILTRO:

El valor de resistencia necesario para poder diseñar el filtro, está vinculado unívocamente a la tensión y potencia con la cual operará la etapa amplificadora de RF. Con la fórmula de P=V^2/R, despejando R nos da como resultado el valor buscado. Ejemplo:
- Potencia de salida de RF: 220W
- Voltaje de operación de RF: 60V
- Potencia DC de la etapa (suponiendo una eficiencia de 90%): 220W/0,9 = 245W
- Rfiltro = 60V^2/245W =  14,5 ohms

Este valor resistivo calculado corresponde al valor de carga del filtro (RL), pero NO de la fuente (RS). Como comentó un colega y amigo de la radio tiempo atrás (hablando ahora de comentarios acertados, y no es para menos), el valor resistivo de fuente para un modulador / amplificador Clase D se considera casi 0 ohms, o más precisamente el valor promedio entre Rds del Mosfet y la resistencia del diodo damper conectado al drain utilizado para descargar el inductor durante el semiciclo negativo. Estamos hablando de valores de décimas de ohms aproximadamente.
Entonces por qué utilizar el software SVC donde no se pueden independizar los valores de RS y RL? Bueno, en realidad porque la única diferencia o anomalía que se presenta en el comportamiento del filtro, es en cercanías de la frecuencia de corte, y como éstos son diseñados con un corte de aprox. 4 veces la máxima frecuencia transmitida, entonces no representa un problema en nuestra ecualización. (Siempre y cuando no se construya un filtro para cortar a la misma frecuencia que la máxima frecuencia modulada que se pretende transmitir, por ejemplo, si se diseña el filtro con una frecuencia de corte de 6khz y nuestro ecualizador lo ajustamos para cortar en 6khz también). Aquí SÍ es necesario calcular con RS = 0, es decir no sería tan recomendable utilizar SVC. Asimismo, el "problema" en realidad no es un grave problema, es simplemente un "boost" de 6-7db en cercanías de la frecuencia de corte. Deberíamos atenuar esas frecuencias desde nuestro ecualizador para tener una respuesta plana. 

El siguiente ejemplo es un caso de un filtro orden 4 Butterworth calculado con SVC para una carga de RF de 14 ohms con una frecuencia de corte de 20khz:

Fig 6

Recién a los 17khz tenemos un incremento de tensión de 3dB, nada de qué preocuparnos para nuestros equipos de AM.  


Veamos ahora el mismo filtro ahora calculado con otras de las herramientas que utilizo por aquí: https://rf-tools.com/lc-filter/ , entrando ahora con RS=0, Fcorte=20kHz y RL=14 ohms:

Fig 7


Y esto obtenemos en la simulación:

Fig 8

Desaparece ese "boost" y la fase se mantiene lineal hasta la frecuencia de corte. Algo curioso del filtro calculado con SVC, es que a los 100kHz, la atenuación a es -61dB contra -56dB del filtro calculado considerando RS = 0ohms. Esto no es una generalización, pero para este caso particular es más efectivo el filtro calculado con SVC. 


TIPO DE FILTRO / DISTORSIÓN DE FASE:

Como último, solamente decir que el tipo de filtro utilizado no hace gran diferencia cuando la frecuencia de corte está muy por arriba de la máxima frecuencia de audio pasante, y SÍ en cambio es para considerar cuando la frecuencia de corte es del orden de la máxima frecuencia de audio pasante pretendida.
Por ejemplo, si quisiéramos transmitir con un ancho de +- 6kHz, y diseñamos nuestro filtro para que modele nuestra banda pasante cortando en 6kHz, deberíamos utilizar un filtro de corte abrupto como el Elíptico o Tchebyshev. Sin embargo, como casi con todas las leyes naturales, esto trae aparejado un par de inconvenientes: Ripple en el dominio de la frecuencia, y distorsión de fase en cercanías de la frecuencia de corte. [6]

El ripple en frecuencia no es más ni menos que una respuesta o ecualización no plana (Fig.9). Tendremos que compensar con nuestro ecualizador de audio.

Un filtro ideal sería un bloque que deja pasar ciertas frecuencias y atenúa otras con un corte infinitamente abrupto sin retardar la señal de entrada a su paso (este retardo se llama Retardo de Grupo). En la vida real, los filtros responden mejor o peor a estas características, y en general son excluyentes, es decir que aquellos que generan un corte abrupto no son tan lineales en su respuesta de fase y viceversa. 

Un filtro con respuesta alineal de fase (distorsión de fase), retarda más o menos tiempo algunas componentes de frecuencia que otras, haciendo que la forma de onda de salida se modifique, ya que la suma instantánea ahora se suma o resta con nuevos valores. Esta característica no es casi perceptible al oído humano pero nos puede generar un problema como veremos más adelante. Este filtro tendrá un Retardo de Grupo no constante. 

La distorsión de fase NO APORTA NUEVOS ARMÓNICOS como lo hace la Distorsión Alineal de Amplitud por ejemplo al saturarse un amplificador. La distorsión de fase modifica las fases relativas entre la fundamental y sus armónicos. Como se dijo antes, no todos los filtros cumplen con esta característica, en especial en cercanías de la frecuencia de corte. Algunos filtros presentan mejor comportamiento que otros dentro de su banda pasante en lo que respecta a Distorsión de Fase, sin embargo, aquellos que tienen una excelente respuesta lineal de fase, no son tan buenos o "filosos" entre las señales pasantes y las atenuadas, como lo es el Bessel, Fig 9. (Un Bessel tiene una característica de atenuación muy poco abrupta pero una respuesta muy lineal de fase).

Fig 9
En la Fig 6 se ve claramente que hasta los 17-18kHz, la respuesta de fase del filtro Butterworth es lineal, más allá de la frecuencia de corte la fase se distorsiona. 
Si bien es cierto que la distorsión de fase no es un problema en audio (al menos para los NO audiófilos) ya que no es casi perceptible por el oído humano, sí puede ser un problema si esa salida modificada en fase se aplica a una etapa de RF para modularla en amplitud. Esto es porque, como se ve en la figura 10, un corrimiento de alguna armónica, puede hacer que aumente el voltaje pico como consecuencia de la suma instantánea de voltajes, haciendo que se estrangule la portadora o se sature la salida dado el límite físico de voltaje disponible, es decir nuestra fuente de alimentación. Cualquiera de estas dos situaciones generará distorsión de amplitud si la "suma" pico a pico supera la tensión de fuente de alimentación. Esta situación no puede resolverse con un compresor ya que el mismo se encuentra antes en la cadena de audio y no puede "adivinar" en qué situación se producirá esta suma indeseable.

Fig 10 - Ref [7]

Como conclusión se puede decir que:

  • Como ventaja de usar un filtro suave con una frecuencia de corte alta tendremos una respuesta de fase lineal. Como desventaja, que el ancho de banda de nuestra transmisión tendrá que ser limitado por el ecualizador de audio, supeditada la respuesta de nuestro equipo a la linealidad de nuestro modulador / amplificador de RF. Si nuestro modulador o etapa de RF es alineal, nada evitará que se emitan bandas laterales indeseables.
  • Como ventaja de usar un filtro de corte abrupto con una baja frecuencia de corte, se puede acotar el ancho de banda de nuestra emisión, corrigiendo o enmascarando la alinealidad de nuestro modulador pero no así la de la etapa de RF (aunque esta suele ser mucho menor). Como desventaja se tienen valores grandes de los componentes del filtro y alinealidad en la respuesta de fase del filtro, pudiendo esto provocar distorsión por amplitud a la salida del modulador lo que provoca también bandas laterales indeseables.

 

Referencias:

[1] - http://tutorialesdeelectronicabasica.blogspot.com/2020/01/el-amplificador-integrador.html

[2] - https://www.researchgate.net/figure/Spectra-of-PWM-voltage-a-for-sawtooth-modulating-signal-b-for-triangular-modulating

[3] - https://www.engr.colostate.edu/~dga/courses/mech307/lectures/ 

[4] - https://eeweb.engineering.nyu.edu/iselesni/EL6113/matlab_examples/phase_distortion_demo/html   /phase_distortion_demo.html
[5] - https://www.electronics-tutorials.ws/amplifier/amp_4.html

[6] - https://blog.bliley.com/filter-typology-face-off-a-closer-look-at-the-top-4-filter-types

[7] - https://dsp.stackexchange.com/questions/31726/why-is-a-linear-phase-important